第１回レポートの解答と講評

　第１回レポートの提出者は36名でした。４問のうち，問題２，３の正答率は非常に
　高く，桁落ちの回避法，二分法やニュートン法による非線形方程式の解法が理解
　してもらえたことがわかりました。反面，問題１では0捨1入を考慮しなかったり
　ケチ表現を忘れるなどの間違いが多くありました。問題４の(2)は，実質的に２変
　数のニュートン法の公式を導いてもらう問題でしたが，ちょっと難しかったようです。

　解答に代えて，非常に力作だった宮田孝史君のレポートを載せておきますので，ぜひ
　見てください。なお，各問の考え方，間違いが多かった箇所などを以下にまとめて
　おきます。


　問題１

　(1) 正答率　72%
　1は２進浮動小数点表現で0.1×2^1（^はべき乗を示す）と表されます。仮数部がt桁
　のとき，1と足して0捨1入を行ったとき，結果が1より大きくなる最小の数は，仮数部
　の最初に0がt個続き，次が1で，指数部が2^1となる数です。これは2^{-t}であり，単
　精度では t=24 なので 2^{-24}，すなわち約 5.96×10^{-8} となります。

　解答では，0捨1入を考慮せずに，2^{-t+1}とした人，仮数部がケチ表現されることを
　考慮せずに t=23 としてしまった人が多く見られました。

　(2) 正答率　67%
　上記(1)と全く同じ考え方で，倍精度ではt=53であることを使います。


　問題２

　(1) 正答率　100%
　授業でやった２次方程式の解の公式と同じ方法が使えます。

　(2) 正答率　92%
　三角関数の加法公式を使います。計算ミスのほかは，ほとんど正解でした。

　(3) 正答率　92%
　分子の有理化を２回行います。１回だけだと，まだ分子の計算で桁落ちが生じてし
　まいます。


　問題３

　(1) 正答率　83%
　ニュートン法の一般公式を導いただけの人が何人かいましたが，ここではaの平方
　根を求める反復式を要求しているので，具体的に f(x) = x^2 - a を代入した反復式
　を書いて欲しかったです。

　(2) 正答率　100%

　(3) 正答率　100%
　両問とも良くできていました。２つの解法の収束を比較して考察を行ってくれた人，
　計算に使ったプログラムを添付してくれた人も何人かいました。


　問題４

　(1) 正答率　97%
　複素数の場合でも，関数f(z)をテイラー展開して一次関数で近似することにより，
　同じ形の反復式が導けます。

　(2) 正答率　42%
　半数以上の人が，(1)で導いた式に z = x + yi を代入したところで止めていました。
　しかし，そのとき出てくる f' というのは，f(z) の z に関する微分なので，これをその
　ままにしておいては，xとyに関する反復式として完全に書き直したことにはなりま
　せん。そこで，f(z) = u(x,y) + iv(x,y) と置き，z に関する微分を x, y に関する微分
　で書き換えることが必要です。さらに，両辺の実部と虚部とをそれぞれ等しいと置く
　ことにより，x，y それぞれに対する反復式を導きます。


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