差分法によるブラック-ショールズ方程式の解法

　BS_FDM.c は差分法によりブラック-ショールズの偏微分方程式を解き，オプション価格を求める
　Cプログラムです。当研究室の高柳健一郎君が作成しました。

　このプログラムでは，まず変数変換を行ってブラック-ショールズ方程式を熱伝導方程式に変換し，
　これを差分法により解いています。この変数変換については，[1][2] を参照してください。

　プログラムは次の関数から成っています。


　CallPayoff

　　コールオプションに対する（変換後の変数での）ペイオフを与える関数です。変換前の変数で言
　　うと，max(S-K, 0) という値を返します。前のこの関数と次の境界条件とを変更することにより，
　　コール以外のオプションの価格も計算できます。


　CallBC1

　　コールオプションに対する S=0（変換後の変数では x → -∞）での境界条件を与える関数です。
　　ある時点で S=0 だと満期までずっと S=0 となるため，境界条件はオプション価値=０と設定して
　　います。


　CallBC2

　　コールオプションに対する S → ∞（変換後の変数では x → ∞）での境界条件を与える関数です。
　　変換前の変数で言うと，S → ∞ のときのオプション価値を S - K*exp{-r(T-t)} と設定しています。


　ExplicitFDM

　　陽的差分法によりブラック-ショールズの偏微分方程式を解き，ヨーロピアン・コールオプションの
　　価格を求める関数です。入力として，行使価格 K，安全資産の利子率 r，ボラティリティ sigma，
　　満期までの時間 T，変換後の変数 x の絶対値の最大値 xmax，x 方向の分割数 N，時間方向の
　　分割数 M を与えます。結果は，初期資産価格 S0 = K*exp(xmax/N*(l-N)) に対応するオプション
　　価格が V[l] に格納されます。ただし，V は長さ N+1 の配列です。なお，M，N は陽的差分法の
　　安定性の条件 dt <= (1/2)dx*dx すなわち (1/2)*T*sigma*sigma/M <= (1/2)*(xmax/N)*(xmax/N)
　　を満たすように決める必要があります。この解法は時間に関して１次精度，空間（資産価格）に
　　関して２次精度です。


　TridiagonalSolve

　　三重対角行列を係数とする連立一次方程式の解をLU分解法により求める関数です。np に行列
　　の元数，配列 alpha，beta，gamma にそれぞれ行列の対角成分，対角より１つ下の成分，対角
　　より１つ上の成分，配列 dY に右辺ベクトルを入れます。また，iopt は，LU分解を行って解を求
　　める場合は ipot=1，LU分解のみを行う場合は iopt=2，既に計算したLU分解の結果を用いて解
　　を求める場合は iopt=3 と指定します。解は配列 x に格納されます。


　ImplicitFDM

　　陰的差分法によりブラック-ショールズの偏微分方程式を解き，ヨーロピアン・コールオプションの
　　価格を求める関数です。入力として，行使価格 K，安全資産の利子率 r，ボラティリティ sigma，
　　満期までの時間 T，変換後の変数 x の絶対値の最大値 xmax，x 方向の分割数 N，時間方向の
　　分割数 M を与えます。結果は，初期資産価格 S0 = K*exp(xmax/N*(l-N)) に対応するオプション
　　価格が V[l] に格納されます。ただし，V は長さ N+1 の配列です。この解法は dx，dt の選び方に
　　よらず安定（すなわち絶対安定）です。この解法も陽的差分法と同様，時間に関して１次精度，
　　空間に関して２次精度です。


　CrankNicolson

　　クランク-ニコルソン法によりブラック-ショールズの偏微分方程式を解き，ヨーロピアン・コール
　　オプションの価格を求める関数です。入力として，行使価格 K，安全資産の利子率 r，ボラティリ
　　ティ sigma，満期までの時間 T，変換後の変数 x の絶対値の最大値 xmax，x 方向の分割数 N，
　　時間方向の分割数 M を与えます。結果は，初期資産価格 S0 = K*exp(xmax/N*(l-N)) に対応
　　するオプション価格が V[l] に格納されます。ただし，V は長さ N+1 の配列です。この解法も陰的
　　差分法と同様に絶対安定であり，かつ時間・空間の両方に関して２次精度と，陽的差分法，陰的
　　差分法に比べて精度が向上しています。


　main

　　関数 ExplicitFDM，ImplicitFDM および CrankNicolson のためのテストプログラムです。様々な
　　初期資産価格 S0 に対するオプションの価格を計算し，画面に表示します。また，同じ内容を
　　ファイル BS_FDM.txtにも出力します。


　計算結果

　　陽的差分法により K=100，r=0.1，sigma=0.3 のコールオプションの価格を計算した例を図１に示
　　します。横軸を S0，縦軸をオプション価格とし，T=0，0.5，1.0 の３通りの満期について計算して
　　います。また，xmax=5.0 とし，x 方向の分割数は N=200，時間方向の分割数は M=150 （T=1.0の
　　場合）としています。なお，このとき dt = 0.48*dx*dx となり，安定性の条件は満たされています。


　　
　　　　　　　　　　　　　　　　図１　陽的差分法で計算した価格（N=200，M=150）


　　次に，同じ条件で N だけを 210 に変えて計算した結果を図２に示します。本来なら分割数を増す
　　ことで結果はより正確になるはずですが，見ての通り，正負に大きく振動するめちゃくちゃな解に
　　なってしまっています。これは安定性の条件が満たされていないことが原因で，実際，この例では
　　dt = 0.53*dx*dx > (1/2)dx*dx となっています。


　　
　　　　　　　　　　　　　　　　図２　陽的差分法で計算した価格（N=210，M=150）


　　次に，陰的差分法による結果を図３に示します。ここでは図１の陽的差分法と同じ条件で N だけ
　　を 400 に変えています。この場合，dt = 1.92*dx*dx > (1/2)dx*dx ですが，解は正しく計算されて
　　います。これは，この問題に対する陰的差分法が無条件安定であり，dx，dt の値にかかわらず，
　　安定して解を求めることができるからです。


　　
　　　　　　　　　　　　　　　　図３　陰的差分法で計算した価格（N=400，M=150）


　　最後に，同じコールオプションで S0=100，T=1.0 の場合の価格を N，M を変えて陰的差分法とクラ
　　ンク-ニコルソン法の両方で計算した結果を図４に示します。時間方向の分割数 M を 5 から 640
　　まで２倍ずつ変化させ，N=10*M としています。また，ブラック-ショールズ公式により解析的に求め
　　た価格は 16.734108 で，図の縦軸はこの価格からのずれを表しています。図より，陰的差分法は
　　直線の傾きが約 -1 なので１次精度，クランク-ニコルソン法は約 -2 なので２次精度であることが
　　わかります。


　　
　　　　　　　図４　陰的差分法とクランク-ニコルソン法の精度


　参考文献

　　[1] P. Wilmott, S. Howison and J. Dewynne（伊藤幹夫，戸瀬信之訳）: 「デリバティブの
　　　　数学入門」, 共立出版株式会社，2002.

　　[2] P. Wilmott, J. Dewynne and S. Howison: "Option Pricing --- Mathematical Models
　　　　and Computation", Oxford Financial Press, Oxford, 1993.


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